1994年7月5日、岩手県水沢市(現在の奥州市)にて、元社会人野球選手の父・大谷徹とバドミントン選手の母・加代子との間に二男として出生。兄はトヨタ自動車東日本硬式野球部所属の大谷龍太。さらに姉が一人いる。
地元・奥州平泉にゆかりある源義経の八艘飛び(はっそうとび)のイメージから「翔」と平泉の「平」を合わせて父・徹が「翔平」と命名。
バドミントンと水泳を習って基礎力を養い、後に始める野球で活躍している。
奥州市立姉体小学校3年時に水沢リトルリーグで野球を始め、全国大会に出場した。当時の捕手は、恐怖を感じるほど球が速かったと語っている。
小学校5年生にして球速110 km/hを岩手県営野球場で記録し、また1試合で6回17奪三振の成績を残したこともあった。奥州市立水沢南中学校時代は一関リトルシニアに所属し、ここでも全国大会に出場した。
大谷が少年時代に憧れた野球選手は、打者では松井秀喜、投手ではダルビッシュ有だったという。
プロ野球ドラフト会議前にはNPBだけでなくMLB球団からも注目され、本人は当初「(MLBかNPBかは)五分五分」と語っていたが、ロサンゼルス・ドジャースやテキサス・レンジャーズ、ボストン・レッドソックスとの面談を経て、10月21日にMLBへの挑戦を表明。
会見では「日本のプロよりもメジャーリーグへの憧れが強く、マイナーからのスタートを覚悟の上でメジャーリーグに挑戦したい」と語った。