一戸町立一戸南小学校で3年生の時に野球を始め、一戸町立一戸中学校では軟式野球部に所属していた。
花巻東高等学校では1年夏からベンチ入りし、同校OBの菊池雄星や大谷翔平に次ぐ「新怪物候補」として注目されたが、腰痛に苦しんだ。2年春の第90回記念選抜高等学校野球大会に出場し、大阪桐蔭との準々決勝で大会初登板するも7失点し、チームも大敗した。同年夏の第100回全国高等学校野球選手権記念大会にも出場し、下関国際との初戦で延長10回に勝ち越された直後に救援登板したが、チームはそのまま敗れた。3年夏の岩手大会では当時の自己最速を更新する149km/hを計測した。同大会で優勝し、第101回全国高等学校野球選手権大会に出場。鳴門との初戦で3回から救援登板するも6失点し、チームは敗れた。
高校卒業後は中央大学へ進学。2年秋のリーグ戦の後から、走者がいなくても常時クイックモーションで投げるスタイルに変更し、安定感が増した。3年春のプレーオフで自己最速となる155km/hを計測し、同年秋のリーグ戦では63回1/3を投げて5勝を記録し、ベストナインに選出された[8]。
2023年9月19日にプロ志望届を提出した。
2023年10月26日に開催された「ドラフト会議」において、1巡目で読売ジャイアンツと北海道日本ハムファイターズから1位指名を受け、読売ジャイアンツ監督で大学の先輩にあたる阿部慎之助と北海道日本ハムファイターズ監督の新庄剛志の両者によるクジ引きの結果、阿部が選択確定のクジを引き当てて西舘の入団交渉権を獲得した。11月15日に契約金1億円プラス出来高5000万円、年俸1600万円（金額はいずれも推定）で仮契約した。背番号は17。同年のドラフトで東京ヤクルトスワローズから1位指名を受けた西舘昂汰とは同姓だが血縁関係はない。